Marx e o infinito: uma introdução ao Cálculo e os “limites” dos Manuscritos Matemáticos (Parte 1)

Parte 1: Limites.                      Parte 2: Derivadas (em breve)


karl_marx_2_by_morales899-d5oqkp4Marx errou. E não estou falando do materialismo histórico. Seu tropeço foi na Matemática.

Seus Manuscritos Matemáticos sintetizam sua incursão no o Cálculo Infinitesimal e seus lapsos por ter mal compreendido o conceito de limite — justamente aquele que carrega a idéia de infinito.

Decidi aproveitar dessa ocasião para explicitar o erro dele e fazer algo que sempre quis aqui no Sociais & Métodos: uma simples e pouco técnica introdução ao Cálculo. Espero motivar alguns cientistas sociais e/ou curiosos. Além disso, com esse material aqui, acredito que fica mais fácil fazer referência a notações e conceitos matemáticos em posts futuros. 

Mas aviso: é só um overview — e muito básico…


Limite

“Qual é o maior número de todos?”. Pergunte isso a uma criança de 5 anos e logo se ouvirá respostas incríveis: “Mil! Não, não… Um milhão!! Mil milhões! Um trilhão de bilhão!! Um mil bilhões de zilhões!!” Obviamente, isso não tem fim.

A criança não sabe, mas possui uma intuição verdadeira sobre como nós lidamos com o infinito: com arbitrariedade. Com isso já temos uma noção sobre o conceito matemático de “limite”. Em linguagem formal, se um número x “tende ao infinito”, escrevemos:

x \to+\infty

O infinito é representado por esse oito deitado \infty. O sinal de mais à sua frente indica que se trata do infinito positivo (“à direita” na reta dos números reais) — afinal existe o infinito negativo (podemos caminhar para “a esquerda” na reta: menos mil, menos um milhão, menos um trilhão…). A seta significa “tende à”.

Trata-se, no caso acima, daquele mesmo “jogo” em que podemos dizer um número cada vez mais alto. Mas quando isso pára? Ou seja, qual o seu “limite”? Para isso escrevemos:

\displaystyle \lim_{x \to+\infty}x = +\infty

Agora temos “o limite de x, quando x  tende ao infinito é infinito“. Com isso, queremos dizer que “no limite”,  x será infinito. Parece uma contradição, né? Afinal o infinito é “ilimitado”. Mas esse foi só um jeito formal de dizer que a brincadeira não tem fim.

Observemos agora a seguinte situação:

\displaystyle \lim_{x \to 2}x

Esse é o limite de x, quando x tende a 2. Isso significa que podemos pensar em números arbitrariamente próximos de 2, SEM JAMAIS CHEGAR A ESSE VALOR EFETIVAMENTE. Veja, por exemplo, a seguinte sequência de quatro números:

1.5, \:\:\: 1.8, \:\:\: 1.93, \:\:\: 1.9997843

Cada um está cada vez mais próximo de 2, certo? Apelando, pra chegar realmente próximo, poderíamos pensar em 1,999999... com um número “infinito” de 9s — infinito, no sentido de tantos quantos quisermos. Mas a pergunta relevante é: pra você, 1,9 já é suficientemente próximo de 2?

Podemos dizer que, que, no limite, o número mais próximo de 2 é o próprio 2. Por isso, o limite de x, quando x tente a 2 é igual a 2:

\displaystyle \lim_{x \to 2}x = 2

Essa notação oculta o fato de que a regra dessa brincadeira é se aproximar do “valor-alvo” sem jamais tocá-lo. x nunca  será 2. Na realidade, 2 é a resposta para a pergunta: “para qual número x está tendendo?” — e não algo em que x se transforma. Por exemplo: para qual número a sequencia abaixo parece estar tendendo?

1.6, \:\:\: 2.2, \:\:\: 2.33 ,\:\:\:2.397 ,\:\:\:2.39998654 ,\:\:\:2.3999999583

Parece ser 2.4, certo? Então escrevemos:

\displaystyle \lim_{x \to 2.4}x = 2.4

É uma notação praticamente tautológica, já que abaixo da expressão “lim” já havíamos escrito que x \to 2.4. As coisas mudam um pouco quando fazemos:

\displaystyle \lim_{x \to 3}x^2 = 9

Desta vez não desejamos saber o valor do próprio x quando tende a um número, mas sim de uma função sua. A medida a x chega perto de 3, observamos que x^2 se aproxima de 9

\displaystyle \lim_{x \to 3}x^2 = 9

Um exemplo numérico disso pode ilustrar bem o que quero dizer:

limite

Nesse caso, não importa se chegamos perto de 3 a partir de números menores (“pela esquerda”) ou a partir de números maiores (“pela direita”), o que ocorre é o mesmo.

Podemos agora falar de limites laterais. Quando tendemos a um número apenas a partir da esquerda, escrevemos:

\displaystyle \lim_{x \to 3^-}

Observe o pequeno sinal de negativo, ao lado do número 3. Se a aproximação é pela direita:

\displaystyle \lim_{x \to 3^+}

No caso acima, como os dois limites laterais são iguais, podemos dizer que “o” limite existe:

\displaystyle \lim_{x \to 3^-}x^2 = \lim_{x \to 3^+}x^2 = \lim_{x \to 3}x^2 = 9

Isso não é verdade para todos os casos. Tomemos a função \displaystyle \frac{1}{x}, quando x \to 0. Quando \frac{1}{x} se aproxima de zero, temos uma situação perigosa, pois \displaystyle \frac{1}{0} não existe, é indeterminado, uma contradição. Afinal, como dividir ou distribuir algo se não há ninguém para receber o que vai ser distribuído?

É necessário avaliar com cuidado o que ocorre tanto quando x \to 0^-, como quando x \to 0^+:

limite2

Quanto mais nos aproximamos de zero, o valor absoluto dos resultados cresce. No entanto, os dois limites são completamente opostos:

\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty

e

\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} =+\infty

A intuição é relativamente simples: no primeiro caso, não importa quão pequeno e próximo de zero seja 0^-, ele sempre será um número negativo. Ora, dividir um valor negativo por um positivo sempre vai gerar um negativo. “Menos com menos dá mais”, afinal.

Não existe um resultado para \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}, mas sim dois valores diferentes para \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}. Se representarmos graficamente os resultados de \displaystyle \frac{1}{x} para cada valor de x, temos algo assim:

limite2

Observem que as linhas vão para lados diferentes no eixo vertical, quando chegamos perto de zero no eixo horizontal. Cada vez mais próximas do infinito (obviamente sem jamais chegar lá, pois não existe “lá”). Os casos mais delicados são sempre esses em que “quase” dividimos por zero.


Por enquanto é só, pessoal. A Parte 2 vem aí.

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Khan Academy, Coursera, YouTube e aprendizado online

[Recomendação preliminar: vejam este vídeo e talvez este também]

Lidar análise de dados quantitativos requer um mínimo de conhecimento de Exatas: Álgebra Linear, Cálculo, Probabilidade, alguma linguagem de programação… Justamente aquelas áreas das quais os estudantes de Humanas procuram fugir. Claro, para as coisas mais básicas, não é necessário “isso tudo”… Às vezes, os menus do SPSS ou algumas poucas funções do Excel já bastam. Mas isso limita as possibilidades de pesquisa e limita a própria imaginação do pesquisador. Vôos mais altos requerem mais formação.

Mas à certa altura do campeonato (depois de formado, durante a pós-graduação, trabalhando…), é pode ser bem desestimulante voltar para uma carteira de sala de aula, numa turma de Matemática para assistir um semestre inteiro de Cálculo I (uma das matérias que mais reprova!), geralmente em turmas que se reúnem três vezes por semana… É um empenho. Uma saída é o “auto-didatismo”. Anteriormente, o caminho era vasculhar livros, manuais, revistas em bancas de jornal… Ou seja, meios escritos. Ainda é um empenho, né!? Mas tá… pode-se estudar ou “fuçar” na hora em que se bem entender. Hoje, a internet facilita enormemente a vida do auto-didata.

Uma das principais iniciativas de ensino de exatas online é a Khan Academy. Tudo começou quando Salman Khan, que trabalhava no mercado financeiro, não pode dar suas usuais aulas de matemática aos seus sobrinhos. Para compensar a falta, gravou alguns vídeos no Youtube com o conteúdo das aulas. Ele se surpreendeu quando percebeu que o aprendizado deles era maior por meio dos vídeos. Resolveu dedicar-se à educação virtual e hoje está à frente de uma fundação enorme, que já não se limita apenas à matemática básica. Há vídeos com matérias completas (e sequenciadas) de Cálculo, Álgebra Linear, Equações Diferenciais, ou seja, matemática de ensino superior. E, além disso, Micro e Macroeconomia, Química, Biologia, Astronomia, História e mais um conjunto amplo de outros temas. Vários conteúdos são acompanhados de exercícios interativos. É possível criar um login e acumular pontos, ao assistir os vídeos, responder questões e até mesmo ajudar outras pessoas, sendo monitor.

A Khan Academy começou nos Estados Unidos. Logo, seu conteúdo está em inglês… A Fundação Lemann, no entanto, está traduzindo boa parte dos conteúdos para o português. E apesar de que os conteúdos ainda sejam poucos, seu volume têm crescido. Ainda não há Cálculo e Álgebra, mas pode-se encontrar algo sobre Estatística, Probabilidade e “Pré-Cálculo”.

Mas esta não é a única grande iniciativa.

Um segundo exemplo é o Coursera, tem uma proposta um pouco diferente. Trata-se de uma plataforma online em que professores de diversas universidades (muito importantes, inclusive), oferecem cursos à distância. Não raro, esses cursos ocorrem simultaneamente a cursos presenciais. Diferentemente da Khan Academy (em que se pode começar a qualquer momento), no Coursera os cursos têm data inicial e final. Assiste-se vídeos expositivos (curtos e muito bem produzidos) e os regularmente inscritos devem entregar exercícios periodicamente. Recebe-se certificado depois da conclusão, emitidos pelas próprias Universidades de origem dos professores. Alguns cursos têm semanas, outros meses. Há oferta simultânea de centenas de disciplinas.

Auto-didatismo tem seus limites: em meio a muitas coisas para fazer e muito trabalho, é difícil manter a constância nos estudos; além disso, a exploração dos conteúdos nem sempre se dá da maneira mais sistemática e na ordem mais lógica. Ainda assim, acredito que esta será uma forma com uma prevalência crescente — seguindo a intuição de Isaac Asimov, no vídeo indicado no início.

[Este post dialoga de perto com este outro, publicado no Metodologia Política]