Marx e o infinito: uma introdução ao Cálculo e os “limites” dos Manuscritos Matemáticos (Parte 1)

Parte 1: Limites.                      Parte 2: Derivadas (em breve)


karl_marx_2_by_morales899-d5oqkp4Marx errou. E não estou falando do materialismo histórico. Seu tropeço foi na Matemática.

Seus Manuscritos Matemáticos sintetizam sua incursão no o Cálculo Infinitesimal e seus lapsos por ter mal compreendido o conceito de limite — justamente aquele que carrega a idéia de infinito.

Decidi aproveitar dessa ocasião para explicitar o erro dele e fazer algo que sempre quis aqui no Sociais & Métodos: uma simples e pouco técnica introdução ao Cálculo. Espero motivar alguns cientistas sociais e/ou curiosos. Além disso, com esse material aqui, acredito que fica mais fácil fazer referência a notações e conceitos matemáticos em posts futuros. 

Mas aviso: é só um overview — e muito básico…


Limite

“Qual é o maior número de todos?”. Pergunte isso a uma criança de 5 anos e logo se ouvirá respostas incríveis: “Mil! Não, não… Um milhão!! Mil milhões! Um trilhão de bilhão!! Um mil bilhões de zilhões!!” Obviamente, isso não tem fim.

A criança não sabe, mas possui uma intuição verdadeira sobre como nós lidamos com o infinito: com arbitrariedade. Com isso já temos uma noção sobre o conceito matemático de “limite”. Em linguagem formal, se um número x “tende ao infinito”, escrevemos:

x \to+\infty

O infinito é representado por esse oito deitado \infty. O sinal de mais à sua frente indica que se trata do infinito positivo (“à direita” na reta dos números reais) — afinal existe o infinito negativo (podemos caminhar para “a esquerda” na reta: menos mil, menos um milhão, menos um trilhão…). A seta significa “tende à”.

Trata-se, no caso acima, daquele mesmo “jogo” em que podemos dizer um número cada vez mais alto. Mas quando isso pára? Ou seja, qual o seu “limite”? Para isso escrevemos:

\displaystyle \lim_{x \to+\infty}x = +\infty

Agora temos “o limite de x, quando x  tende ao infinito é infinito“. Com isso, queremos dizer que “no limite”,  x será infinito. Parece uma contradição, né? Afinal o infinito é “ilimitado”. Mas esse foi só um jeito formal de dizer que a brincadeira não tem fim.

Observemos agora a seguinte situação:

\displaystyle \lim_{x \to 2}x

Esse é o limite de x, quando x tende a 2. Isso significa que podemos pensar em números arbitrariamente próximos de 2, SEM JAMAIS CHEGAR A ESSE VALOR EFETIVAMENTE. Veja, por exemplo, a seguinte sequência de quatro números:

1.5, \:\:\: 1.8, \:\:\: 1.93, \:\:\: 1.9997843

Cada um está cada vez mais próximo de 2, certo? Apelando, pra chegar realmente próximo, poderíamos pensar em 1,999999... com um número “infinito” de 9s — infinito, no sentido de tantos quantos quisermos. Mas a pergunta relevante é: pra você, 1,9 já é suficientemente próximo de 2?

Podemos dizer que, que, no limite, o número mais próximo de 2 é o próprio 2. Por isso, o limite de x, quando x tente a 2 é igual a 2:

\displaystyle \lim_{x \to 2}x = 2

Essa notação oculta o fato de que a regra dessa brincadeira é se aproximar do “valor-alvo” sem jamais tocá-lo. x nunca  será 2. Na realidade, 2 é a resposta para a pergunta: “para qual número x está tendendo?” — e não algo em que x se transforma. Por exemplo: para qual número a sequencia abaixo parece estar tendendo?

1.6, \:\:\: 2.2, \:\:\: 2.33 ,\:\:\:2.397 ,\:\:\:2.39998654 ,\:\:\:2.3999999583

Parece ser 2.4, certo? Então escrevemos:

\displaystyle \lim_{x \to 2.4}x = 2.4

É uma notação praticamente tautológica, já que abaixo da expressão “lim” já havíamos escrito que x \to 2.4. As coisas mudam um pouco quando fazemos:

\displaystyle \lim_{x \to 3}x^2 = 9

Desta vez não desejamos saber o valor do próprio x quando tende a um número, mas sim de uma função sua. A medida a x chega perto de 3, observamos que x^2 se aproxima de 9

\displaystyle \lim_{x \to 3}x^2 = 9

Um exemplo numérico disso pode ilustrar bem o que quero dizer:

limite

Nesse caso, não importa se chegamos perto de 3 a partir de números menores (“pela esquerda”) ou a partir de números maiores (“pela direita”), o que ocorre é o mesmo.

Podemos agora falar de limites laterais. Quando tendemos a um número apenas a partir da esquerda, escrevemos:

\displaystyle \lim_{x \to 3^-}

Observe o pequeno sinal de negativo, ao lado do número 3. Se a aproximação é pela direita:

\displaystyle \lim_{x \to 3^+}

No caso acima, como os dois limites laterais são iguais, podemos dizer que “o” limite existe:

\displaystyle \lim_{x \to 3^-}x^2 = \lim_{x \to 3^+}x^2 = \lim_{x \to 3}x^2 = 9

Isso não é verdade para todos os casos. Tomemos a função \displaystyle \frac{1}{x}, quando x \to 0. Quando \frac{1}{x} se aproxima de zero, temos uma situação perigosa, pois \displaystyle \frac{1}{0} não existe, é indeterminado, uma contradição. Afinal, como dividir ou distribuir algo se não há ninguém para receber o que vai ser distribuído?

É necessário avaliar com cuidado o que ocorre tanto quando x \to 0^-, como quando x \to 0^+:

limite2

Quanto mais nos aproximamos de zero, o valor absoluto dos resultados cresce. No entanto, os dois limites são completamente opostos:

\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty

e

\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} =+\infty

A intuição é relativamente simples: no primeiro caso, não importa quão pequeno e próximo de zero seja 0^-, ele sempre será um número negativo. Ora, dividir um valor negativo por um positivo sempre vai gerar um negativo. “Menos com menos dá mais”, afinal.

Não existe um resultado para \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}, mas sim dois valores diferentes para \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}. Se representarmos graficamente os resultados de \displaystyle \frac{1}{x} para cada valor de x, temos algo assim:

limite2

Observem que as linhas vão para lados diferentes no eixo vertical, quando chegamos perto de zero no eixo horizontal. Cada vez mais próximas do infinito (obviamente sem jamais chegar lá, pois não existe “lá”). Os casos mais delicados são sempre esses em que “quase” dividimos por zero.


Por enquanto é só, pessoal. A Parte 2 vem aí.

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6 respostas em “Marx e o infinito: uma introdução ao Cálculo e os “limites” dos Manuscritos Matemáticos (Parte 1)

  1. Depois que tomei conhecimento dos textos de Marx sobre cálculo, por via do livro de Paulus Gerdes, passei a estudar cálculo para compreendê-lo. Seu texto é esclarecedor e espero o de derivada. Excelente iniciativa, parabéns!

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